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(理)设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为常数).(1)当a=2时,讨论函数f(x)的单调性;(2)若a>-2,且函数f(x)的最小值为2,求a的值;(3)若a≥2,不等式f(x)≥ab2恒成立,求实数b
题目详情
(理)设函数f(x)=x2+|2x-a|(x∈R,a为常数).
(1)当a=2时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a>-2,且函数f(x)的最小值为2,求a的值;
(3)若a≥2,不等式f(x)≥ab2恒成立,求实数b的取值范围.
(1)当a=2时,讨论函数f(x)的单调性;
(2)若a>-2,且函数f(x)的最小值为2,求a的值;
(3)若a≥2,不等式f(x)≥ab2恒成立,求实数b的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)a=2时,f(x)=x2+|2x−2|=
,
,…(2分)
∴函数y=f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(-∞,1]. …(6分)
(2)f(x)=
,
,…(8分)
∵a>-2,∴
>−1,
当a≥2时,函数y=f(x)的最小值为f(1)=a-1=2,解得a=3符合题意; …(10分)
当-2<a<2时,函数y=f(x)的最小值为f(
)=
=2,无解;
综上,a=3. …(12分)
(3)由(2)知,当a≥2时函数y=f(x)的最小值为f(1)=a-1,
所以a-1≥ab2(a≥2)恒成立,令g(a)=a(b2-1)+1(a≥2),…(14分)
有:
,故−
≤b≤
. …(16分)
|
|
∴函数y=f(x)的单调增区间为[1,+∞),减区间为(-∞,1]. …(6分)
(2)f(x)=
|
|
∵a>-2,∴
a |
2 |
当a≥2时,函数y=f(x)的最小值为f(1)=a-1=2,解得a=3符合题意; …(10分)
当-2<a<2时,函数y=f(x)的最小值为f(
a |
2 |
a2 |
4 |
综上,a=3. …(12分)
(3)由(2)知,当a≥2时函数y=f(x)的最小值为f(1)=a-1,
所以a-1≥ab2(a≥2)恒成立,令g(a)=a(b2-1)+1(a≥2),…(14分)
有:
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2 |
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2 |
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