某质量分布均匀的球状天体密度为ρ0，半径为R，引力常量为G．（1）证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关．（2）假设该天体表面充满厚度为d=0.5R、密度为ρ=4ρ019的

Question

某质量分布均匀的球状天体密度为ρ₀，半径为R，引力常量为G．
（1）证明：贴近该天体表面运行的卫星的运动周期与天体的大小无关．
（2）假设该天体表面充满厚度为d=0.5R、密度为ρ=(4ρ0)/(19)的均匀介质，天体自转的角速度为ω₀=(√(πGρ0))/(2)，求环绕该天体运动的同步卫星距天体表面的高度．

Answer 1

（1）设环绕其表面运行卫星的质量为m，运动周期为T，球形天体半径为R，天体质量为M，由牛顿第二定律有：
G(mM)/(R2)＝mR(4π2)/(T2)…①
而天体的质量为：M=(4)/(3)πR3ρ0…②
由①②式解得T＝√((3π)/(Gρ0))，可见T与R无关，为一常量． 
（2）设该天体的同步卫星距天体中心的距离为r，同步卫星的质量为m₀，则有：
G(m0(M+M′))/(r2)＝m0r

ω

2 0

… ③
而M′＝ρ(4)/(3)π[(R+d)3−R3]… ④
由②③④式代入数据可解得：r=2R                             
则该天体的同步卫星距表面的高度为：h=r-R=R
答：（1）证明见解答；
（2）环绕该天体运动的同步卫星距天体表面的高度为R．