定义数列，当n≥2时，其中r≥0常数．(Ⅰ)若当r=0时，…；(1)求：；(2)求证：数列中任意三项均不能构成等差数列；(Ⅱ)求证：对一切及r≥0，不等式恒成立．

Question

定义数列，当n≥2时，其中r≥0常数．
(Ⅰ)若当r=0时，…；
(1)求：；(2)求证：数列中任意三项均不能构成等差数列；
(Ⅱ)求证：对一切及r≥0，不等式恒成立．____

Answer 1

【分析】(1)先计算数列的前8项猜想数列的特点，数列{a_2k-1}、{a_2k}(k∈N^*)均为等比数列，从而利用等比数列的求和公式求解即可；对于否定性的结论的证明，往往利用反证法证明；
(1)欲证此不等式恒成立，先对左边式子利用拆项法求和，后再进行放缩即得．

(1)当r=0时，计算得数列的前8项为：1，1，2，2，4，4，8，8．
从而猜出数列{a_2k-1}、{a_2k}(k∈N^*)均为等比数列．
∵a_2k=a_2k-1=2a_2k-2，a_2k+1=2a_2k=2a_2k-1，
∴数列{a_2k-1}、{a_2k}(k∈N^*)均为等比数列，
∴a_2k-1=a_2k=2^k-1．
①∴S_2k=2(a₁+a₃+a₅++a_2k-1)=2(2^k-1)=2^k+1-2，S_2k-1=S_2k-2+a_2k-1=2^k-2+2^k-1=3×2^k-1-2，
∴．
②证明(反证法)：假设存在三项
S_m，S_n，S_p(m，n，p∈N^*，m<n<p)是等差数列，
即2S_n=S_m+S_p成立．
因m，n，p均为偶数，
设m=2m₁，n=2n₁，p=2p₁，(m₁，n₁，p₁∈N^*)，
∴，
即，
∴，
而此等式左边为偶数，右边为奇数，这就矛盾；
(2)∵a_2k=a_2k-1+r=2a_2k-2+r，
∴a_2k+r=2(a_2k-2+r)，
∴{a_2k+r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，
∴a_2k+r=(1+2r)•2^k-1．
又∵a_2k+1=2a_2k=2(a_2k-1+r)，
∴a_2k+1+2r=2(a_2k-1+2r)，
∴{a_2k-1+2r}是首项为1+2r，公比为2的等比数列，
∴a_2k-1+2r=(1+2r)•2^k-1．
∴
=
=，
∴
=．
∵r≥0，
∴．
∴．

【点评】本题主要考查了等差数列、等比数列、不等式证明中的反证法与放缩法以及数列的求和，是一道综合性很强的题目，属于难题．