①在直角坐标系中，x=a+rcosθy=b+rsinθ表示什么曲线？（其中a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量．）②若点P为圆C：（x-2）2+（y-3）2=4上任意一点，且O为原

Question

①在直角坐标系中，

x=a+rcosθ

y=b+rsinθ

表示什么曲线？（其中a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量．）
②若点P为圆C：（x-2） ² +（y-3） ² =4上任意一点，且O为原点，A（1，0），求

OP

•

AP

的取值范围．

Answer 1

①∵a，b，r是常数，且r为正数，θ为变量，且

x=a+rcosθ

y=b+rsinθ

，
∴有：

x-a=rcosθ

y-b=rsinθ

⇒（x-a） ² +（y-b） ² =r ² ．                         …（3分）
所以，在直角坐标系中，

x=a+rcosθ

y=b+rsinθ

表示的是以（a，b）为圆心，r为半径的圆．            …（6分）
②∵点P为圆C：（x-2） ² +（y-3） ² =4上任意一点，故由①可设点P的坐标为（2+2cosθ，3+2sinθ）．      …（8分）
∴

OP

=(2+2cosθ，3+2sinθ) ，

AP

=(1+2cosθ，3+2sinθ) ．   …（10分）
故

OP

•

AP

=(2+2cosθ)(1+2cosθ)+(3+2sinθ ) 2
⇒

OP

•

AP

=15+6cosθ+12sinθ = 15+6

5

sin(θ+φ) …（12分）
又∵-1≤sin（θ+φ）≤1，∴ 15-6

5

≤

OP

•

AP

≤15+6

5

．     …（13分）