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当x=20时,一个关于x的二次三项式的值等于694,若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数,求满足条件的所有二次三项式.
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当x=20时,一个关于x的二次三项式的值等于694,若该二次三项式的各项系数及常数项都是绝对值小于10的整数,求满足条件的所有二次三项式.
▼优质解答
答案和解析
设满足条件的二次三项式为ax2+bx+c(a、b、c都是常数,且abc≠0).
∵x=20,ax2+bx+c=694,
∴400a+20b+c=694. ①
∴400a=694-(20b+c).
∵-10<b<10,-10<c<10,
∴-210<20b+c<210,
∴484<400a<904,
∴1.21<a<2.26.
又∵a是整数,
∴a=2.
将a=2代入①,得20b+c=-106. ②
于是,20b=-106-c,
又-10<c<10,
∴-116<20b<-96,
∴-5.8<b<-4.8,
又∵b为整数,
∴b=-5.
将b=-5代入②,得c=-6.
将x=20代入2x2-5x-6,得其值为694.
∴满足条件的二次三项式只有2x2-5x-6.
∵x=20,ax2+bx+c=694,
∴400a+20b+c=694. ①
∴400a=694-(20b+c).
∵-10<b<10,-10<c<10,
∴-210<20b+c<210,
∴484<400a<904,
∴1.21<a<2.26.
又∵a是整数,
∴a=2.
将a=2代入①,得20b+c=-106. ②
于是,20b=-106-c,
又-10<c<10,
∴-116<20b<-96,
∴-5.8<b<-4.8,
又∵b为整数,
∴b=-5.
将b=-5代入②,得c=-6.
将x=20代入2x2-5x-6,得其值为694.
∴满足条件的二次三项式只有2x2-5x-6.
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