直线l：x-y=0与椭圆x方/2+y方=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,求三角形ABC面积的最大值?做过一遍当时不会,被老师指点了一下思路,说是设C（x,y）然后连立x=acos阿尔法,y=bsin阿尔法,然后不知为

Question

直线l：x-y=0与椭圆x方/2+y方=1相交于A,B两点,点C是椭圆上的动点,求三角形ABC面积的最大值?做过一遍当时不会,被老师指点了一下思路,说是设C（x,y）然后连立x=acos阿尔法,y=bsin阿尔法,然后不知为何得出C（根号2cos阿尔法,sin阿尔法） 我想得到从头到尾的完整过程,

Answer 1

x=y y^2+2y^2=2 3y2=2 y1=+√6/3 x1=+√6/3 y2=--√6/3 x2=--√6/3
AB^2=(x1-x2)^2+(y1-y2)^2=16/3 AB=4√3/3
设过C点且与AB平行的直线L 方程为 y=x+c L与AB距离就是C点到AB的距离,也就是三角形ABC的BC边上的高.只要L与椭圆相切,就可得L与AB最大距离,可得最大面积.
y^2--2cy+c^2+2y^2=2 3Y^2--2cy+c^2-2=0 判别式 4c^2--12(c^2--2)=0 c=-√3 c=+√3
结合图示.L与AB最大距离为 √3/√2=√6/2
三角形ABC最大面积：0.5*√6/2*4√3/3=√2