（2014•潍坊模拟）已知椭圆x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重

Question

（2014•潍坊模拟）已知椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)=1（a＞b＞0）过点（0，1），其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线l与x轴正半轴和y轴分别交于点Q、P，与椭圆分别交于点M、N，各点均不重合且满足

PM

＝λ1

MQ

，

PN

＝λ2

NQ

．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）若λ₁+λ₂=-3，试证明：直线l过定点并求此定点．

Answer 1

（1）∵椭圆(x2)/(a2)+(y2)/(b2)＝1(a＞b＞0)过点（0，1），
∴b=1，设焦距为2c，（1分）
∵长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列，
∴（2a）²+（2b）²=2（2c）²，又a²=b²+c²
解得a²=3．（3分）
∴椭圆的方程为(x2)/(3)+y2＝1．（5分）
（2）由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
设l方程为x=t（y-m），
由

PM

＝λ1

MQ

，知（x₁，y₁-m）=λ₁（x₀-x₁，-y₁）
∴y₁-m=-y₁λ₁，由题意λ₁≠0，∴λ1＝(m)/(y1)−1，（7分）
同理由

PN

＝λ2

NQ

知，λ2＝(m)/(y2)−1，
∵λ₁+λ₂=-3，∴y₁y₂+m（y₁+y₂）=0（*），（8分）
联立

作业帮用户 2017-10-10 举报

问题解析

（1）由已知条件推导出b=1，（2a）²+（2b）²=2（2c）²，由此能求出椭圆的方程．
（2）由题意设P（0，m），Q（x₀，0），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），设l方程为x=t（y-m），由已知条件推导出λ1＝(m)/(y1)−1，λ2＝(m)/(y2)−1，由此能证明直线l过定点并能求出此定点．

名师点评

本题考点：

直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评：

本题考查椭圆方程的求法，考查直线过定点的证明，解题时要认真审题，注意向量知识和等价转化思想的合理运用．

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