某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的18，第2次播放了2条以及余下的18，第3次播放了3条以及余下的18，以后每次按此规律插播广

Question

某一电视频道在一天内有x次插播广告的时段，一共播放了y条广告，第1次播放了1条和余下的y-1条的(1)/(8)，第2次播放了2条以及余下的(1)/(8)，第3次播放了3条以及余下的(1)/(8)，以后每次按此规律插播广告，在第x次播放了余下的x条（x＞1）．
（1）设第k次播放后余下a_k条，这里a₀=y，a_x=0，求a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）求这家电视台这一天内播放广告的时段x与广告的条数y．

Answer 1

（1）依题意，第k次播放了
k+(1)/(8)（a_k-1-k）=(1)/(8)a_k-1+(7)/(8)k，
∴a_k=a_k-1-（(1)/(8)a_k-1+(7)/(8)k）．
∴a_k-1=k+(8)/(7)a_k，
即a_k与a_k-1的递推关系式为a_k-1=k+(8)/(7)a_k．
（2）∵a₀=1+(8)/(7)a₁
=1+(8)/(7)（2+(8)/(7)a₂）
=1+2×(8)/(7)+（(8)/(7)）²a₂
=1+2×(8)/(7)+3×（(8)/(7)）²+（(8)/(7)）³a₃
=1+2×(8)/(7)+3×（(8)/(7)）²++x×（(8)/(7)）^x-1+（(8)/(7)）^xa_x．
∵a_x=0，
∴y=1+2×(8)/(7)+3×（(8)/(7)）²++x×（(8)/(7)）^x-1．
用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×(8x)/(7x−1)．∴y∈N*，∴x−7＝0．∴

作业帮用户 2017-10-26 举报

问题解析

（1）依题意，第k次播放了k+(1)/(8)（a_k-1-k）=(1)/(8)a_k-1+(7)/(8)k，由此能够推导出a_k与a_k-1的递推关系式．
（2）由a₀=1+(8)/(7)a₁=1+2×(8)/(7)+3×（(8)/(7)）²++x×（(8)/(7)）^x-1+（(8)/(7)）^xa_x推导出y=1+2×(8)/(7)+3×（(8)/(7)）²++x×（(8)/(7)）^x-1，用错位相减法求和，可得y=49+（x-7）×(8x)/(7x−1)．由此可得到这家电视台这一天播放广告的时段为7段，广告的条数为49．

名师点评

本题考点：

数列的应用．

考点点评：

本题考查数列的性质和运用，解题时要认真审题．仔细解答．

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