第一题一张m行n列棋盘,其中m和n都是奇数.为了固定记号,设左上角的方格被涂成白色.证明:如果切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖.

Question

第一题
一张m行n列棋盘,其中m和n都是奇数.为了固定记号,设左上角的方格被涂成白色.
证明:
如果切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖.

Answer 1

这的确是可以的.
首先容易知道对于a*b的长方形,如果a和b有一个是偶数
那么多米诺牌是可以完美覆盖a*b的长方形.
下面考察切掉棋盘上的任意一个白色方格 把它的坐标设为（k,l）按照题意给出的染色规则,则k和l的奇偶性是相同的.
如果k和l都是奇数.
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
所有1到k-1行的格子为第一个长方形 他是（k-1)*n的
所有k+1到m行的格子为第二个长方形 他是（m-k)*n的
第k行,1到l-1列的格子为第三个长方形 他是1*（l-1）的
第k行,l+1到n列的格子为第四个长方形 他是1*（n-l）的
因为k-1,n-k,l-1,n-l都是偶数.
所以都可以被多米诺牌完美覆盖.
如果k和l都是偶数.
把剩余的棋盘可以分为以下四部分
1到k-1行,1到l列的格子为第一个长方形 他是（k-1)*l的
1到k行,l+1到n列的格子为第二个长方形 他是k*（n-1）的
第k行到m行,1到l-1列的格子为第三个长方形 他是（m-k+1）*（l-1）的
第k+1行到m行,l到n列的格子为第四个长方形 他是（m-k）*（n-l+1）的
因为l,k,m-k+1,n-l+1 都是偶数
所以都可以被多米诺牌完美覆盖.
综上所述
切掉棋盘上的任意一个白色方格,那么剩下的棋盘可被多米诺牌完美覆盖.