定义符号函数：sgn（x）=1，x>00，x=0-1，x<0，则函数f（x）=x•sgn（lnx）与函数g（x）=x4-x2的图象的交点个数为（）A.1B.2C.3D.0

Question

定义符号函数：sgn（x）=

1，x>0

0，x=0

-1，x<0

，则函数f（x）=x•sgn（lnx）与函数g（x）=x⁴-x²的图象的交点个数为（　　）

A. 1

B. 2

C. 3

D. 0

Answer 1

f（x）=

-x，0<x<1

0，x=1

x，x>1

，令h（x）=g（x）-f（x）=

x4-x2+x，0<x<1

0，x=1

x4-x2-x

．
（1）当0<x<1时，h（x）=x⁴-x²+x=x（x³-x+1）=x（x（x²-1）+1），
∵0<x<1，∴-1<x²-1<0，∴-1<x（x²-1）<0，∴0<x（x²-1）+1<1，∴x（x（x²-1）+1）>0，即h（x）>0，
∴h（x）在（0，1）上无零点．
（2）当x=1时，h（x）=h（1）=g（1）-f（1）=0，∴x=1是h（x）的零点．
（3）当x>1时，h（x）=x⁴-x²-x，h′（x）=4x³-2x-1，h″（x）=12x²-2，∴当x>1时，h″（x）>0
∴h′（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，∴h_min′（x）=h′（1）=1>0，∴h（x）在（1，+∞）上是单调递增函数，
∵h（1）=-1<0，∴h（x）在（1，+∞）上存在唯一一个零点．
综上，h（x）有两个零点，即f（x）与g（x）的图象有两个交点．
故选：B．