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△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC,(1)求证:△BDF∽△CEF;(2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值;(3)已知A、D、F
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△ABC为等边三角形,边长为a,DF⊥AB,EF⊥AC, (1)求证:△BDF∽△CEF; (2)若a=4,设BF=m,四边形ADFE面积为S,求出S与m之间的函数关系,并探究当m为何值时S取最大值; (3)已知A、D、F、E四点共圆,已知tan∠EDF= ,求此圆直径. |
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答案和解析
(1)证明见解析 (2)S与m之间的函数关系为:S═﹣ (m﹣2) 2 +3 (其中0<m<4).当m=2时,S取到最大值,最大值为3 (3)此圆直径长为 . |
试题分析:(1)由已知可知∠BDF=∠CEF,∠B=∠C,所以得证. (2)四边形ADFE面积S可以看成△ADF与△AEF的面积之和,这两个三角形均为直角三角形,在△BDF与△CEF中,由三角函数可以用m表示出BD、DF、CE、EF的长,进而可得AD、AE的长,从而可以用含m的代数式表示S,然后通过配方,转化为二次函数的最值问题,就可以解决问题. (3)由已知易知AF就是圆的直径,利用圆周角定理将∠EDF转化为∠EAF.在△AFC中,知道tan∠EAF、∠C、AC,通过解直角三角形就可求出AF长. 试题解析:(1):∵DF⊥AB,EF⊥AC, ∴∠BDF=∠CEF=90°. ∵△ABC为等边三角形, ∴∠B=∠C=60°. ∵∠BDF=∠CEF,∠B=∠C, ∴△BDF∽△CEF. (2)∵∠BDF=90°,∠B=60°, ∴sin60°= = ,cos60°= = . ∵BF=m, ∴DF= m,BD= . ∵AB=4, ∴AD=4﹣ . ∴S △ ADF = AD•DF = ×(4﹣ )× m =﹣ m 2 + m. 同理:S △ AEF = AE•EF = ×(4﹣ )× (4﹣m) =﹣ m 2 +2 . ∴S=S △ ADF +S △ AEF =﹣ m 2 + m+2 =﹣ (m 2 ﹣4m﹣8) =﹣ (m﹣2) 2 +3 .其中0<m<4. ∵﹣ <0,0<2<4, ∴当m=2时,S取最大值,最大值为3 . ∴S与m之间的函数关系为: S═﹣ (m﹣2) 2 +3 (其中0<m<4). 当m=2时,S取到最大值,最大值为3 . (3)如图2, ∵A、D、F、E四点共圆, ∴∠EDF=∠EAF. ∵∠ADF=∠AEF=90°, ∴AF是此圆的直径. ∵tan∠EDF= , ∴tan∠EAF= . ∴ = . ∵∠C=60°, ∴ =tan60°= . 设EC=x,则EF=
作业帮用户
2017-10-12
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