已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,它的图像截x轴所得的线段长为8,求二次函数的解析式.尤其是“它的图像截x轴所得的线段长为8”.

Question

已知二次函数f(x),当x=2时有最大值16,它的图像截x轴所得的线段长为8,求二次函数的解析式.尤其是“它的图像截x轴所得的线段长为8”.

Answer 1

设已知二次函数f(x)与X轴交于两点(m,0) (m+8,0)
设其解析式为f(x)=a(x-m)(x-m-8)
当x=2时有最大值16
则有f(2)=16且f`(2)=0
又是f`(x)=2ax-2am-8a
所以f(2)=a(2-m)(2-m-8)=16
f`(2)=4a-2am-8a=0
解得：a=-1 m=-2
f(x)=-(x+2)(x-6)=-x²+4x+12