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在数轴上把坐标为1,2,…,2006的点称为标点.一只青蛙从点1出发,经过2006次跳动,历经所有标点,且回到出发点.那么,该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少?说明理由.
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在数轴上把坐标为1,2,…,2006的点称为标点.一只青蛙从点1出发,经过2006次跳动,历经所有标点,且回到出发点.那么,该青蛙所跳过的全部路径的最大长度是多少?说明理由.
▼优质解答
答案和解析
设青蛙跳过的点为:a1,a2,a3…a2006,设跳过的和为S,
S=|a1-a2|+…+|a2005-a2006|+|a2006-a1|,
a1到a2006在上式中均出现2次(这个懂吧,因为每个数在绝对值符号里作为被减数,和减数个一次,共出现2次)取+,-各2006个(把每一项展开时,大的取+,小的取-,所以整个式子在展开计算时,取+,-的各有2006个).
故S≤2×(1004+1005+…+2006)-2×(1+2+…+1003)(要使加的数尽量大,减得数尽量少,
所以加的是2006到1004,减的是1到1003,这样跳过的路径才是最大的)
S=2×10032
这就是青蛙跳过的最大路径即青蛙跳过的最大路径为:2012018
S=|a1-a2|+…+|a2005-a2006|+|a2006-a1|,
a1到a2006在上式中均出现2次(这个懂吧,因为每个数在绝对值符号里作为被减数,和减数个一次,共出现2次)取+,-各2006个(把每一项展开时,大的取+,小的取-,所以整个式子在展开计算时,取+,-的各有2006个).
故S≤2×(1004+1005+…+2006)-2×(1+2+…+1003)(要使加的数尽量大,减得数尽量少,
所以加的是2006到1004,减的是1到1003,这样跳过的路径才是最大的)
S=2×10032
这就是青蛙跳过的最大路径即青蛙跳过的最大路径为:2012018
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