π是无理数还是有理数?（证明）有人说π是无理数,因为不能化成分数,但假如有一天,计算机可以得到确切数值,又该怎么办.众所周知π=周长/直径=c/d如果c,d为两个确切数值,那π岂不为有理数?但

Question

π是无理数还是有理数?（证明）
有人说π是无理数,因为不能化成分数,但假如有一天,计算机可以得到确切数值,又该怎么办.众所周知π=周长/直径=c/d如果c,d为两个确切数值,那π岂不为有理数?但是如果c,d本身为无理数,则又是一种说法.本人比较郁闷,希望又高人给个证明,

Answer 1

首先肯定π是无理数. 其次你的想法有误,π的计算机算法是在π是无理数的基础上构建的方法,不是使用割圆法,不存在π=c/d的问题. 最后是证明,涉及到微积分的内容. 反证法,假设π是有理数,则π=p/q,其中p、q都是整数； 构造函数f(x) = (x^n) * (p-qx)^n / n! F(x)=∑(-1)^n * f^(2n)(x) 【其中求和上下限分别为0和N,N是一个足够大的正整数,这里用f^(2n)(x)来表示f(x)的2n阶导数】. 可以验证 1.(F'·sinx - F·cosx)' = f·sinx； 2.F(0)为整数； 3.F(π)为整数（在π位整数的假设下） 4.F(x)的高阶导数（阶数在1和N-1之间）在0和π的值为0 那么对f·sinx这个函数在[0,π]上积分 有∫ f·sinx dx =[ F'(π)sinπ - F(π)·cosπ] - [F'(0)sin0 - F(0)·cos0]=F(π)+F(0),按照假设这是一个整数（F(π),F(0)都是整数,所以F(π)+F(0)也是整数） 但是对于f(x)= (x^n) * (p-qx)^n/ n!,他是(0,pi)区间上严格递增的函数,并且x趋于0时f(x)趋于0,x趋于π时f(x)趋于π^n * p^n / n!；因此只要把N取得足够大,就有f·sinx在[0,π]的积分小于1大于0,显然小于1大于0的实数不是整数,故与前面的结论产生了矛盾,因此假设不成立,π 不是有理数,而是无理数.