抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2=1（a、b>0）的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且MF的长为2p,则双曲线的离心率为A.10^(1/2)/2B.2C.5^(1/2)D.5^(1/2)/2

Question

抛物线y^2=2px(p>0)的焦点为F,其准线经过双曲线x^2/a^2-y^2/b^2 = 1（a、b>0）的左顶点,点M为这两条曲线的一个交点,且MF的长为2p,则双曲线的离心率为
A.10^(1/2)/2 B.2 C.5^(1/2) D.5^(1/2)/2

Answer 1

|MF|=2p ,则 M 到左准线 x = -a = -p/2 的距离为 2p ,
因此 M 横坐标为 2p-p/2=3p/2 ,
代入抛物线方程得 M 坐标是（3p/2,±√3p）,
将 M 坐标代入双曲线方程,注意到 a=p/2 ,可得 9-3p^2/b^2=1,
解得 b^2=3/8*p^2 ,
因此由 e^2=c^2/a^2=(a^2+b^2)/a^2=1+b^2/a^2=1+(3/8) / (1/4)=5/2
得 e=√(5/2)=√10/2 .
选 A .