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已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R,对命题:“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.写出逆命题、逆否命题,判断真假,并证明你的结论.
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已知函数f(x)在(-∞,+∞)上是增函数,a、b∈R,对命题:“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”.写出逆命题、逆否命题,判断真假,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
先证原命题:
“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”为真.
a+b≥0⇒a≥-b,b≥-a
⇒f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)
⇒f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a).
故其逆否命题:“若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0”也为真.
再证否命题“若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”为真.
a+b<0⇒a<-b,b<-a
⇒f(a)<f(-b),f(b)<f(-a)
⇒f(a)+f(b)<f(-b)+f(-a).
故其逆命题:“若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”也为真.
“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)”为真.
a+b≥0⇒a≥-b,b≥-a
⇒f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a)
⇒f(a)+f(b)≥f(-b)+f(-a).
故其逆否命题:“若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),则a+b<0”也为真.
再证否命题“若a+b<0,则f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b)”为真.
a+b<0⇒a<-b,b<-a
⇒f(a)<f(-b),f(b)<f(-a)
⇒f(a)+f(b)<f(-b)+f(-a).
故其逆命题:“若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0”也为真.
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