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已知y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数,此函数满足对定义域内的任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,又已知f(x)在(0,+∞)上为增函数.(1)求f(1),f
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已知y=f(x)是定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数,此函数满足对定义域内的任意实数x,y都有f(xy)=f(x)+f(y),且f(2)=1,又已知f(x)在(0,+∞)上为增函数.
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)试判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)如果f(x)+f(2-x)≥2,求x的取值范围.
(1)求f(1),f(-1)的值;
(2)试判断函数f(x)的奇偶性,并给出证明;
(3)如果f(x)+f(2-x)≥2,求x的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(1)令x=y=1,则f(1×1)=f(1)+f(1),得f(1)=0;
再令x=y=-1,则f[(-1)•(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
(2)对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),
所以f(-x)=f(x).又函数f(x)的定义域关于原点对称,
所以函数f(x)为偶函数.
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,∴f(4)=2.
∵f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)],
∴原不等式等价于f[x(2-x)]≥f(4).
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴原不等式又等价于x(2-x)≥4或x(2-x)≤-4,
解得x≤1−
或x≥1+
.
再令x=y=-1,则f[(-1)•(-1)]=f(-1)+f(-1),得f(-1)=0.
(2)对于条件f(x•y)=f(x)+f(y),令y=-1,则f(-x)=f(x)+f(-1),
所以f(-x)=f(x).又函数f(x)的定义域关于原点对称,
所以函数f(x)为偶函数.
(3)∵f(4)=f(2×2)=f(2)+f(2),又f(2)=1,∴f(4)=2.
∵f(x)+f(2-x)=f[x(2-x)],
∴原不等式等价于f[x(2-x)]≥f(4).
又函数f(x)为偶函数,且函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,
∴原不等式又等价于x(2-x)≥4或x(2-x)≤-4,
解得x≤1−
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