线性代数的问题A=E-αβ*T(β的转置）A*2(A的平方）=3E-2A,其中α,β都是n维非零列向量,求α*Tβ.

Question

线性代数的问题
A=E-αβ*T(β的转置）A*2(A的平方）=3E-2A,其中α,β都是n维非零列向量,求α*Tβ.

Answer 1

A^2=(E-αβ^T)(E-αβ^T)
= E-2αβ^T+αβ^Tαβ^T
= E-2αβ^T+(β^Tα)αβ^T
= E+(β^Tα-2)αβ^T
由已知 A^2=3E-2A
= 3E-2(E-αβ^T)
= E+2αβ^T
所以 (β^Tα-2)αβ^T=2αβ^T
所以 (β^Tα-4)αβ^T=0.
又因为 α,β都是非零向量
所以αβ^T是非零矩阵
故 β^Tα-4 = 0
即 β^Tα = 4.
所以 α^Tβ = (β^Tα)^T = 4.