以下两个分数之和为整数，试证明这两个分数都为整数设x，y为自然数，使得两个分数（x^2-1）/(y+1)，(y^2-1)/(x+1)的和为整数，求证：这两个分数都是整数补充：我看了一下，这两个分数的积

Question

以下两个分数之和为整数，试证明这两个分数都为整数
设x，y为自然数，使得两个分数
（x^2-1）/(y+1) ，(y^2-1)/(x+1)
的和为整数，求证：这两个分数都是整数
补充：我看了一下，这两个分数的积也应该是整数，但是凭什么因为它们的和与积都是整数就认定这两个分数是整数了呢？

Answer 1

(x^2-1)/(y+1)+(y^2-1)/(x+1)=[(x^2-1)(x+1)+(y^2-1)(y+1)]/[(x+1)(y+1)]
=[(x-1)(x+1)^2+(y-1)(y+1)^2]/[(x+1)(y+1)]为整数
(x-1)(x+1)^2是(x+1)的倍数,故(y-1)(y+1)^2是(x+1)的倍数,
同理(x-1)(x+1)^2是(y+1)的倍数,
若(x+1)与(y+1)互质,则命题得证,
否则设(x+1)与(y+1)的最大公约数为m,
则(x-1)(x+1)^2/m是整数且为(y+1)/m的倍数,
(x+1)与(y+1)/m互质,故(x-1)(x+1)/m是整数且为(y+1)/m的倍数,
即（x^2-1)/(y+1)为整数,
同理(y^2-1)/(x+1)为整数