李先生的效用函数为U=X2Y,其中X和Y分别为两种商品的数量.令PX=1、PY=2与I=24分别表示商品X的价格、商品Y的价格与收入.试求：（1）为获得最大效用,李先生对商品X和商品Y的需求量.（2）对于李

Question

李先生的效用函数为U=X2Y,其中X和Y分别为两种商品的数量.令PX=1、PY=2与I=24分别表示商品X的价格、商品Y的价格与收入.试求：
（1）为获得最大效用,李先生对商品X和商品Y的需求量.
（2）对于李先生而言,单位货币得到的边际效用为多少?
（3）现在PX上升为8,PY保持不变,为了使他保持原有的效用水平不变,李先生至少多花多少钱?

Answer 1

(1)
x+2y=24
U=x^2*y=(24-2y)^2*y=4y^3-96y^2+576y 0≤y≤12
dU/dy=12y^2-192y+576=12(y-8)^2-192
当4≤y≤12时,dU/dy≤0,U单调递减
当0≤y0,U单调递增
当y=4时获得最大效用Umax
x=24-2y=16
Umax=16*16*4=1024
(2)
边际效用=(4+16)/24=5/6
(3)
设8x+2y=m
y=m/2-4x
U=x^2*y=x^2(m/2-4x)=-4x^3+mx^2/2 0≤x≤m/8
dU/dx=-12x^2+mx=x(m-12x)
当x≥m/12时,dU/dy≤0,U单调递减
当0≤x0,U单调递增
Umax=-4(m/12)^3+m*(m/12)^2/2=m^3/864
要使m尽可能小,就要让x尽可能小,U取到最大值,m^3/864=1024, m=96
至少多花=96-24=72