设方程2x＋x－3＝0的根为α，方程log2x＋x－3＝0的根为β，求α＋β的值．

Question

设方程2^x＋x－3＝0的根为α，方程log₂x＋x－3＝0的根为β，求α＋β的值．

Answer 1

将方程整理得

2^x＝－x＋3,log₂x＝－x＋3

可知α是指数函数y＝2^x的图象与直线y＝－x＋3交点A的横坐标；β是对数函数y＝log₂x的图象与直线y＝－x＋3交点B的横坐标．由于函数y＝2^x与函数y＝log₂x互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，所以A、B两点也关于直线y＝x对称，是A(α,β),B(β,α)且两点都在直线y＝－x＋3上，故α＋β＝3