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(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC
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(2011•百色)如图,四边形OABC的四个顶点坐标分别为O(0,0),A(8,0),B(4,4),C(0,4),直线l:y=x+b保持与四边形OABC的边交于点M、N(M在
折线AOC上,N在折线ABC上).设四边形OABC在l右下方部分的面积为S1,在l左上方部分的面积为S2,记S为S1、S2的差(S≥0).
(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/a9d3fd1f4134970a8bbad29e96cad1c8a6865db2.jpg)
(1)求∠OAB的大小;
(2)当M、N重合时,求l的解析式;
(3)当b≤0时,问线段AB上是否存在点N使得S=0?若存在,求b的值;若不存在,请说明理由;
(4)求S与b的函数关系式.
▼优质解答
答案和解析
(1)过点B过BE⊥x轴,垂足为E.点E(4,0),
∴BE=4,AE=4,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
答:∠OAB=45°.
(2)当点M、N重合时,
∵S≥0,
∴应重合到点C(0,4),
∵把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,
∴直线l的解析式y=x+4.
(3)四边形OABC的面积为
×4(4+8)=24,
直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.
当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.
过点N作x轴的垂线NH,
则NH=AH=MH,
设NH=a,
×2a×a=12,
解得:a=2
,
∴OH=8-2
,
∴点N的坐标为(8-2
,2
),
代入y=x+b得:b=4
-8.
答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是4
-8.
(4)分为三种情况:①如图在N1、M1时,当4
-8≤b<0时,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0dd7912397dda144dfd4ae03b1b7d0a20df486a6.jpg)
OM=-b,AM=8-(-b)=8+b,
设直线AB的解析式是y=cx+d,
把A(8,0),B(4,4)代入得:
,
解得:
,
y=-x+8,
解方程组
得:
,
S1=
AM×NH=
×2×
×
=
b2+4b+16;
S2=24-S1,
S=|S1-S2|=
b2+4b+16-[24-(
b2+4b+16)]=
b2+8b+8,
②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4-b,![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bba1cd11728b471074e63f7dc0cec3fdfd0323b2.jpg)
S2=
(4-b)2,S1=24-S2,
S=S1-S2=-b2+8b+8,
③-8<a<-8+4
时,如图,在N3、M3时,S1=
×2×
×
=
b2+4b+16;
S2=24-S1,
S=S2-S1=[24-(
b2+4b+16)]-(
b2+4b+16)=-
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5243fbf2b2119313db9e3d0166380cd790238da6.jpg)
∴BE=4,AE=4,
∴△ABE为等腰直角三角形,
∴∠OAB=45°,
答:∠OAB=45°.
(2)当点M、N重合时,
∵S≥0,
∴应重合到点C(0,4),
∵把C(0,4)代入y=x+b得:b=4,
∴直线l的解析式y=x+4.
(3)四边形OABC的面积为
1 |
2 |
直线l:y=x+b与x轴的交角为45°,△AMN为等腰直角三角形.
当S=0时,△AMN的面积为四边形OABC的面积的一半,即12.
过点N作x轴的垂线NH,
则NH=AH=MH,
设NH=a,
1 |
2 |
解得:a=2
3 |
∴OH=8-2
3 |
∴点N的坐标为(8-2
3 |
3 |
代入y=x+b得:b=4
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答:当b≤0时,线段AB上存在点N使得S=0,b的值是4
3 |
(4)分为三种情况:①如图在N1、M1时,当4
3 |
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/0dd7912397dda144dfd4ae03b1b7d0a20df486a6.jpg)
OM=-b,AM=8-(-b)=8+b,
设直线AB的解析式是y=cx+d,
把A(8,0),B(4,4)代入得:
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解得:
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y=-x+8,
解方程组
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S1=
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2 |
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8+b |
2 |
8+b |
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1 |
4 |
S2=24-S1,
S=|S1-S2|=
1 |
4 |
1 |
4 |
1 |
2 |
②当0≤b≤4时,如图在N2、M2点时,OM=b,CM=4-b,
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/bba1cd11728b471074e63f7dc0cec3fdfd0323b2.jpg)
S2=
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S=S1-S2=-b2+8b+8,
③-8<a<-8+4
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8+b |
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8+b |
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S2=24-S1,
S=S2-S1=[24-(
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- 名师点评
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- 本题考点:
- 一次函数综合题;解一元一次方程;解二元一次方程组;待定系数法求一次函数解析式;三角形的面积;等腰三角形的性质;等腰直角三角形;梯形.
-
- 考点点评:
- 本题主要考查对三角形的面积,梯形,等腰直角三角形,用待定系数法求一次函数的解析式,等腰三角形的性质,解一元一次方程,解二元一次方程组等知识点的理解和掌握,综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键.
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_2c0c717c464dca8ef4a230a9f98c53e9.jpg)
![](https://img.zuoyebang.cc/zyb_2c0c717c464dca8ef4a230a9f98c53e9.jpg)
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