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(2014•东营一模)已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n•bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.(Ⅰ)求an,bn;(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
题目详情
(2014•东营一模)已知数列{an}的前n项和Sn=an+n2-1,数列{bn}满足3n•bn+1=(n+1)an+1-nan,且b1=3.
(Ⅰ)求an,bn;
(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
(Ⅰ)求an,bn;
(Ⅱ)设Tn为数列{bn}的前n项和,求Tn,并求满足Tn<7时n的最大值.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由Sn=an+n2−1,得
Sn−1=an−1+(n−1)2−1 (n≥2),
两式相减得,an=an-an-1+2n-1,
∴an-1=2n-1,则an=2n+1.
由3n•bn+1=(n+1)an+1-nan,
∴3n•bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.
∴bn+1=
.
∴当n≥2时,bn=
,
由b1=3适合上式,
∴bn=
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=
,
∴Tn=
+
+
+…+
+
①.
Tn=
+
+
+…+
+
②.
①-②得,
Tn=3+
+
+…+
−
=3+4•
Sn−1=an−1+(n−1)2−1 (n≥2),
两式相减得,an=an-an-1+2n-1,
∴an-1=2n-1,则an=2n+1.
由3n•bn+1=(n+1)an+1-nan,
∴3n•bn+1=(n+1)(2n+3)-n(2n+1)=4n+3.
∴bn+1=
4n+3 |
3n |
∴当n≥2时,bn=
4n−1 |
3n−1 |
由b1=3适合上式,
∴bn=
4n−1 |
3n−1 |
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,bn=
4n−1 |
3n−1 |
∴Tn=
3 |
1 |
7 |
3 |
11 |
32 |
4n−5 |
3n−2 |
4n−1 |
3n−1 |
1 |
3 |
3 |
3 |
7 |
32 |
11 |
33 |
4n−5 |
3n−1 |
4n−1 |
3n |
①-②得,
2 |
3 |
4 |
3 |
4 |
32 |
4 |
3n−1 |
4n−1 |
3n |
=3+4•
|
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