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(2014•临沂模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c的对称轴为x=1,(a≠0)直线,且经过A(-1,0)、(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;(2)设D是抛物
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(2014•临沂模拟)如图,已知抛物线y=ax2+bx+c 的对称轴为x=1,(a≠0)直线,且经过A(-1,0)、(0,-3)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)设D是抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠DCB=90°的点D的坐标;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
(1)求这条抛物线所对应的函数关系式;
(2)设D是抛物线的对称轴x=1上的一动点,求使∠DCB=90°的点D的坐标;
(3)探究坐标轴上是否存在点P,使得P、A、C为顶点的三角形与△BCD相似?若存在,请指出符合条件的点P的位置,并直接写出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)设该抛物线的解析式为y=ax2+bx+c,
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3,
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3,
把A(-1,0)、B(3,0)代入,
得
解得a=1,b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l,作DF⊥y轴,垂足为F;
∵OB=OC=3,
∴CF=DF=1,OF=OC+CF=4,
∴D(1,-4).
(3)连接AC,则容易得出△COA∽△CAP,又△PCA∽△BCD,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P1(0,
).
过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0).
∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0,
),P2(9,0).
由抛物线与y轴交于点C(0,-3),可知c=-3,
即抛物线的解析式为y=ax2+bx-3,
把A(-1,0)、B(3,0)代入,
得
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解得a=1,b=-2.
∴抛物线的解析式为y=x2-2x-3;
(2)设经过C点且与直线BC垂直的直线为直线l,作DF⊥y轴,垂足为F;
∵OB=OC=3,
∴CF=DF=1,OF=OC+CF=4,
∴D(1,-4).
(3)连接AC,则容易得出△COA∽△CAP,又△PCA∽△BCD,可知Rt△COA∽Rt△BCD,得符合条件的点为O(0,0).
过A作AP1⊥AC交y轴正半轴于P1,可知Rt△CAP1∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P1(0,
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过C作CP2⊥AC交x轴正半轴于P2,可知Rt△P2CA∽Rt△COA∽Rt△BCD,
求得符合条件的点为P2(9,0).
∴符合条件的点有三个:O(0,0),P1(0,
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