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(2014•临沂三模)设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数t使得对于任意x∈M(M⊆D),有x+t∈D,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的“t高调函数”.如果定义域为R的函数f(x)是奇
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(2014•临沂三模)设函数f(x)的定义域为D,若存在非零实数t使得对于任意x∈M(M⊆D),有x+t∈D,且f(x+t)≥f(x),则称f(x)为M上的“t高调函数”.如果定义域为R的函数f(x)是奇函数,当x≥0时,f(x)=|x-a2|-a2,且f(x)为R上的“4高调函数”,那么实数a的取值范围是( )
A.[-
,
]
B.[-1,1]
C.[-1,
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D.[-
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▼优质解答
答案和解析
根据题意,当x≥0时,f(x)=|x-a2|-a2,
则当x≥a2时,f(x)=x-2a2,
0≤x≤a2时,f(x)=-x,
由奇函数对称性,有则当x≤-a2时,f(x)=x+2a2,
-a2≤x≤0时,f(x)=-x,
图象如图:易得其图象与x轴交点为M(-2a2,0),N(2a2,0)
因此f(x)在[-a2,a2]是减函数,其余区间是增函数.
f(x)为R上的4高调函数,则对任意x,有f(x+4)≥f(x),
故当-2a2≤x≤0时,f(x)≥0,为保证f(x+4)≥f(x),必有f(x+4)≥0;即x+4≥2a2;
有-2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2;
解可得:-1≤a≤1;
故选:B.
则当x≥a2时,f(x)=x-2a2,
0≤x≤a2时,f(x)=-x,
由奇函数对称性,有则当x≤-a2时,f(x)=x+2a2,
-a2≤x≤0时,f(x)=-x,
图象如图:易得其图象与x轴交点为M(-2a2,0),N(2a2,0)
因此f(x)在[-a2,a2]是减函数,其余区间是增函数.
f(x)为R上的4高调函数,则对任意x,有f(x+4)≥f(x),
故当-2a2≤x≤0时,f(x)≥0,为保证f(x+4)≥f(x),必有f(x+4)≥0;即x+4≥2a2;
有-2a2≤x≤0且x+4≥2a2可得4≥4a2;
解可得:-1≤a≤1;
故选:B.
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