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(2014•淄博二模)某市为控制大气PM2.5的浓度,环境部门规定:该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨,否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为4
题目详情
(2014•淄博二模)某市为控制大气PM2.5的浓度,环境部门规定:该市每年的大气主要污染物排放总量不能超过55万吨,否则将采取紧急限排措施.已知该市2013年的大气主要污染物排放总量为40万吨,通过技术改造和倡导绿色低碳生活等措施,此后每年的原大气主要污染物排放量比上一年的排放总量减少10%.同时,因经济发展和人口增加等因素,每年又新增加大气主要污染物排放量胁(m>0)万吨.
(Ⅰ)从2014年起,该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{an},求相邻两年主要污染物排放总量的关系式;
(Ⅱ)证明:数列{an-10m}是等比数列;
(Ⅲ)若该市始终不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.
(Ⅰ)从2014年起,该市每年大气主要污染物排放总量(万吨)依次构成数列{an},求相邻两年主要污染物排放总量的关系式;
(Ⅱ)证明:数列{an-10m}是等比数列;
(Ⅲ)若该市始终不需要采取紧急限排措施,求m的取值范围.
▼优质解答
答案和解析
(Ⅰ)由已知,a1=40×0.9+m,an+1=0.9an+m(n≥1)
(Ⅱ)证明:∵an+1=0.9an+m(n≥1)
∴an+1-10m=0.9(an-10m),
∴数列{an-10m}是以36-9m为首项,0.9为公比的等比数列;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得an-10m=(36-9m)•0.9n-1,
∴an=(36-9m)•0.9n-1+10m.
由已知有∀n∈N*,an≤55
(1)当36-9m=0即m=4时,显然满足题意;
(2)当36-9m>0,即m<4时,
由指数函数的性质可得:(36-9m)×0.90+10m≤55,解得m≤19,综合得m<4;
(3)当36-9m<0即m>4时,
由指数函数的性质可得:10m≤55,解得m≤5.5,综合得4<m≤5.5.
综上可得所求范围是m∈(0,5.5].
(Ⅱ)证明:∵an+1=0.9an+m(n≥1)
∴an+1-10m=0.9(an-10m),
∴数列{an-10m}是以36-9m为首项,0.9为公比的等比数列;
(Ⅲ)由(Ⅱ)得an-10m=(36-9m)•0.9n-1,
∴an=(36-9m)•0.9n-1+10m.
由已知有∀n∈N*,an≤55
(1)当36-9m=0即m=4时,显然满足题意;
(2)当36-9m>0,即m<4时,
由指数函数的性质可得:(36-9m)×0.90+10m≤55,解得m≤19,综合得m<4;
(3)当36-9m<0即m>4时,
由指数函数的性质可得:10m≤55,解得m≤5.5,综合得4<m≤5.5.
综上可得所求范围是m∈(0,5.5].
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