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(2013年四川广安9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F.(1)求证:EF是⊙0的切线.(2)如果⊙O的半径
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(2013年四川广安9分)如图,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径作半圆⊙0,交BC于点D,连接AD,过点D作DE⊥AC,垂足为点E,交AB的延长线于点F. (1)求证:EF是⊙0的切线. (2)如果⊙O的半径为5,sin∠ADE= ,求BF的长. |
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图,连接OD, ∵AB为⊙O的直径,∴∠ADB=90°。 ∴AD⊥BC。 ∵AB=AC,∴AD平分BC,即DB=DC。 ∵OA=OB,∴OD为△ABC的中位线。 ∴OD∥AC。 ∵DE⊥AC,∴OD⊥DE。 ∵OD是⊙O的半径,∴EF是⊙O的切线。 (2)∵∠DAC=∠DAB,∴∠ADE=∠ABD。 ∴在Rt△ADB中, 。 ∵AB=10,∴AD=8, ∵在Rt△ADE中, ,∴ 。 ∵OD∥AE,∴△FDO∽△FEA。 ∴ ,即 ,解得 。 |
(1)连接OD,AB为⊙0的直径得∠ADB=90°,由AB=AC,根据等腰三角形性质得AD平分BC,即DB=DC,则OD为△ABC的中位线,所以OD∥AC,而DE⊥AC,则OD⊥DE,然后根据切线的判定方法即可得到结论。 (2)由∠DAC=∠DAB,根据等角的余角相等得∠ADE=∠ABD,在Rt△ADB中,利用解直角三角形的方法可计算出AD=8,在Rt△ADE中可计算出AE= ,然后由OD∥AE,得△FDO∽△FEA,再利用相似比可计算出BF。 |
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