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(2014•广安三模)已知函数f(x)=|2x−1|−1,x≤1x2−3x+3x−1,x>1,下列关于函数g(x)=[f(x)]2+af(x)-1(其中a为常数)的叙述中:①对∀a∈R,函数g(x)至少有一个零点;②当a=0时,
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(2014•广安三模)已知函数f(x)=
,下列关于函数g(x)=[f(x)]2+af(x)-1(其中a为常数)的叙述中:
①对∀a∈R,函数g(x)至少有一个零点;
②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;
③∃a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;
④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.
其中真命题有______.(把你认为的真命题的序号都填上)
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①对∀a∈R,函数g(x)至少有一个零点;
②当a=0时,函数g(x)有两个不同零点;
③∃a∈R,使得函数g(x)有三个不同零点;
④函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0.
其中真命题有______.(把你认为的真命题的序号都填上)
▼优质解答
答案和解析
当0≤x≤1时,f(x)=2x-1-1=2x-2,当x<0时,f(x)=1-2x-1=-2x,且-1≤f(x)≤0,
当x>1时,f(x)=
=x-1+
-1,
且f(x)≥1,如右图所示,
又函数g(x)=[f(x)]2+af(x)-1(其中a为常数)
判别式为a2+4>0,则g(x)=0有两个不等的实根,且
设f(x)=m,n,且mn=-1,m+n=-a,
①若a=
,则设m=-2,n=
,则结合图象可知,
函数g(x)没有零点,故①错;
②当a=0时,g(x)=0则f(x)=±1,函数g(x)有两个零点,故②正确;
③若存在函数g(x)有三个不同零点,则x轴上方2个,下方1个;或上方1个,下方2个.即有f(x)=-1,
由于mn=-1,故还有f(x)=1,不成立;第二种情况也不成立,上方有1个,即f(x)=1,还有f(x)=-1,
故③错;
④函数g(x)有四个不同零点⇔即在x轴上方有两个、下方有两个,即-1<m<0且n>1,即m+n>0,-a>0
即a<0,故函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0,即④正确.
故答案为:②④.
当x>1时,f(x)=
(x−1)2+2−x |
x−1 |
1 |
x−1 |
且f(x)≥1,如右图所示,
又函数g(x)=[f(x)]2+af(x)-1(其中a为常数)
判别式为a2+4>0,则g(x)=0有两个不等的实根,且
设f(x)=m,n,且mn=-1,m+n=-a,
①若a=
3 |
2 |
1 |
2 |
函数g(x)没有零点,故①错;
②当a=0时,g(x)=0则f(x)=±1,函数g(x)有两个零点,故②正确;
③若存在函数g(x)有三个不同零点,则x轴上方2个,下方1个;或上方1个,下方2个.即有f(x)=-1,
由于mn=-1,故还有f(x)=1,不成立;第二种情况也不成立,上方有1个,即f(x)=1,还有f(x)=-1,
故③错;
④函数g(x)有四个不同零点⇔即在x轴上方有两个、下方有两个,即-1<m<0且n>1,即m+n>0,-a>0
即a<0,故函数g(x)有四个不同零点的充要条件是a<0,即④正确.
故答案为:②④.
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