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(2008•德阳)在直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点为A,与y轴交于点B,抛物线上的一点C的横坐标为1,且AC=310.(1)用配方法把解析式y=x2-2mx+n+1化成y=a(x-h)2+k的形式;用含m、n的代数
题目详情
(2008•德阳)在直角坐标系中,抛物线y=x2-2mx+n+1的顶点为A,与y轴交于点B,抛物线上的一点C的横坐标为1,且AC=3
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(1)用配方法把解析式y=x2-2mx+n+1化成y=a(x-h)2+k的形式;用含m、n的代数式表示顶点A的坐标;
(2)如果顶点A在x轴负半轴上,求此抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上有一点D,使得直线DB经过第一、二、四象限,
交x轴于点F,且原点O到直线DB的距离为
,求这时点D的坐标.
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(1)用配方法把解析式y=x2-2mx+n+1化成y=a(x-h)2+k的形式;用含m、n的代数式表示顶点A的坐标;
(2)如果顶点A在x轴负半轴上,求此抛物线的函数关系式;
(3)在(2)中的抛物线上有一点D,使得直线DB经过第一、二、四象限,
交x轴于点F,且原点O到直线DB的距离为
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▼优质解答
答案和解析
(1)配方得:y=(x-m)2+(-m2+n+1),
所以顶点A(m,-m2+n+1);
(2)根据题意,如图所示,过点C作CE⊥x轴交于点E,
∵抛物线上一点C的横左边为1,且AC=3
,
∴C(1,n-2m+2),其中n-2m+2>0,OE=1,CE=n-2m+2,
∵抛物线的顶点在x轴的负半轴上,
∴A(m,0),n=m2-1①,
其中m<0,OA=-m,则AE=OE+OA=1-m,
在Rt△ACE中,根据勾股定理得:AE2+CE2=AC2,
即(1-m)2+(n-2m+2)2=(3
)2②,
把①代入②得:(m2-2m+1)2+(m2-2m+1)-90=0,
∴(m2-2m+11)(m2-2m-8)=0,
∴m2-2m+11=0或m2-2m-8=0,
方程m2-2m+11=0,∵△=b2-4ac=4-44=-40<0,∴方程无解;
方程m2-2m-8=0,分解因式得:(m-4)(m+2)=0,解得:m1=4,m2=-2,
∵m<0,∴m=-2,
把m=-2代入①得:n=4-1=3,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4;
(3)∵直线DB经过第一、二、四象限,
设直线DB交x轴正半轴于点F,过点O作OM⊥DB于点M,
∵点O到直线DB的距离为
,∴OM=
,
∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B,∴B(0,4),∴OB=4,
在Rt△OBM中,根据勾股定理得:BM=
=
所以顶点A(m,-m2+n+1);
(2)根据题意,如图所示,过点C作CE⊥x轴交于点E,
∵抛物线上一点C的横左边为1,且AC=3
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∴C(1,n-2m+2),其中n-2m+2>0,OE=1,CE=n-2m+2,
∵抛物线的顶点在x轴的负半轴上,
∴A(m,0),n=m2-1①,
其中m<0,OA=-m,则AE=OE+OA=1-m,
在Rt△ACE中,根据勾股定理得:AE2+CE2=AC2,
即(1-m)2+(n-2m+2)2=(3
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把①代入②得:(m2-2m+1)2+(m2-2m+1)-90=0,
∴(m2-2m+11)(m2-2m-8)=0,
∴m2-2m+11=0或m2-2m-8=0,
方程m2-2m+11=0,∵△=b2-4ac=4-44=-40<0,∴方程无解;
方程m2-2m-8=0,分解因式得:(m-4)(m+2)=0,解得:m1=4,m2=-2,
∵m<0,∴m=-2,
把m=-2代入①得:n=4-1=3,
∴抛物线解析式为y=x2+4x+4;
(3)∵直线DB经过第一、二、四象限,
设直线DB交x轴正半轴于点F,过点O作OM⊥DB于点M,
∵点O到直线DB的距离为
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∵抛物线y=x2+4x+4与y轴交于点B,∴B(0,4),∴OB=4,
在Rt△OBM中,根据勾股定理得:BM=
OB2−OM2 |
42−(
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