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张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺卡是多少张?
题目详情
张华、李亮、王民三位同学分别发出新年贺卡x、y、z张.如果已知x,y,z的最小公倍数为60,x和y的最大公约数为4,y和z的最大公约数为3,那么张华发出的新年贺卡是多少张?
▼优质解答
答案和解析
由题意可知,y不仅是3的倍数,而且是4的倍数,即y是12的倍数.同时y是60的约数,故而可求y.
∵(x,y)=4,(y,z)=3
∴y是3与4的倍数,而3与4互质故y是12的倍数.
又∵[x,y,z]=60
∴y=12,60.进而可求出x.
∵[x,y,z]=60=3×4×5.
当y=12时,x、z中至少有一个含有因数5.
若x中有因数5,又x中有因数4,且4与5互质
∴x中有因数20
∵[x,y,z]=60,(x,y)=4
∴x=20
当x中没有因数5,∵x中有因数4,且x是60的约数
∴x=4,或x=12
∵(x,y)=4
∴x=4
当y=60时,(x,y)=4,而x中没有因数5,且[x,y,z]=60=3×4×5,
故x=4.
因此,张华发出的贺年卡为4张或20张.
∵(x,y)=4,(y,z)=3
∴y是3与4的倍数,而3与4互质故y是12的倍数.
又∵[x,y,z]=60
∴y=12,60.进而可求出x.
∵[x,y,z]=60=3×4×5.
当y=12时,x、z中至少有一个含有因数5.
若x中有因数5,又x中有因数4,且4与5互质
∴x中有因数20
∵[x,y,z]=60,(x,y)=4
∴x=20
当x中没有因数5,∵x中有因数4,且x是60的约数
∴x=4,或x=12
∵(x,y)=4
∴x=4
当y=60时,(x,y)=4,而x中没有因数5,且[x,y,z]=60=3×4×5,
故x=4.
因此,张华发出的贺年卡为4张或20张.
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