（2012•惠州一模）已知函数f(x)＝1+lnxx，(x≥1)（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；（2）若f(x)≥kx+1恒成立，求实数k的取值范围；（3）求证：[（n+1）!]2＞（n+1）•en-2，（n∈N*）．

Question

（2012•惠州一模）已知函数f(x)＝(1+lnx)/(x)，(x≥1)
（1）试判断f（x）的单调性，并说明理由；
（2）若f(x)≥(k)/(x+1)恒成立，求实数k的取值范围；
（3）求证：[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．

Answer 1

（1）求导函数，可得f′(x)＝(1−(1+lnx))/(x2)=(−lnx)/(x2)
∵x≥1，∴lnx≥0，∴f′（x）≤0，
∴函数f（x）在[1，+∞）上单调减
∴函数f（x）的单调减区间是[1，+∞）．
（2）不等式f(x)≥(k)/(x+1)，即为((x+1)(1+lnx))/(x)≥k，记g(x)＝((x+1)(1+lnx))/(x)，
所以g′(x)＝([(x+1)(1+lnx)]′x−(x+1)(1+lnx))/(x2)＝(x−lnx)/(x2)，
令h（x）=x-lnx，则h′(x)＝1−(1)/(x)，
∵x≥1，∴h′（x）≥0．
∴h（x）在[1，+∞）上单调递增，∴[h（x）]min=h（1）=1＞0，
从而g′（x）＞0
故g（x）在[1，+∞）上也单调递增，
∴[g（x）]_min=g（1）=2，所以k≤2
（3）证明：由（2）知：f(x)＞(2)/(x+1)恒成立，即lnx≥(x−1)/(x+1)＝1−(2)/(x+1)＞1−(2)/(x)，
令x=n（n+1），则ln[n(n+1)]＞1−(2)/(n(n+1))，
所以ln(1×2)＞1−(2)/(1×2)，ln(2×3)＞1−(2)/(2×3)，ln(3×4)＞1−(2)/(3×4)，…，ln[n(n+1)]＞1−(2)/(n(n+1))．
叠加得：ln[1×2²×3²×…×n²×（n+1）]=n−2(1−(1)/(n+1))＞n−2+(1)/(n+1)＞n−2
则1×2²×3²×…×n²×（n+1）＞e^n-2，
所以[（n+1）!]²＞（n+1）•e^n-2，（n∈N^*）．