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(2013•惠州模拟)已知向量p=(an,2n),q=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量p与q垂直,且a1=1(1)求数列{an}的通项公式;(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
题目详情
(2013•惠州模拟)已知向量
=(an,2n),
=(2n+1,-an+1),n∈N*,向量
与
垂直,且a1=1
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
p |
q |
p |
q |
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)若数列{bn}满足bn=log2an+1,求数列{an•bn}的前n项和Sn.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵向量
与
垂直,∴2nan+1-2n+1an=0,
即2nan+1=2n+1an,…(2分)
∴
=2∴{an}是以1为首项,2为公比的等比数列…(4分)
∴an=2n-1. …(5分)
(2)∵bn=log2a2+1,∴bn=n
∴an•bn=n•2n-1,…(8分)
∴Sn=1+2×2+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1 …①
∴2Sn=1×2+2×22+…(n-1)×2n-1+n×2n …②…(10分)
由①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=
−n•2n=(1-n)•2n=(1-n)2n-1…(12分)
∴Sn=1-(n+1)2n+n•2n+1=1+(n-1)•2n.…(14分)
p |
q |
即2nan+1=2n+1an,…(2分)
∴
an+1 |
an |
∴an=2n-1. …(5分)
(2)∵bn=log2a2+1,∴bn=n
∴an•bn=n•2n-1,…(8分)
∴Sn=1+2×2+3×22+…+(n-1)×2n-2+n×2n-1 …①
∴2Sn=1×2+2×22+…(n-1)×2n-1+n×2n …②…(10分)
由①-②得,-Sn=1+2+22+…+2n-1-n×2n=
1−2n |
1−2 |
∴Sn=1-(n+1)2n+n•2n+1=1+(n-1)•2n.…(14分)
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