给这几个命题的证明,1.若f(x+a)=f(b-x),对于x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2成轴对称图形.2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称.3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b

Question

给这几个命题的证明,
1.若f(x+a)=f(b-x),对于x∈R恒成立,则y=f(x)的图象关于直线x=(a+b)/2
成轴对称图形.
2.函数y=f(a+x)与函数y=f(b-x)的图象关于直线x=(b-a)/2对称.
3.若定义在R上的函数f(x)关于直线x=a与x=b(b>a)都对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期(未必是最小正周期,下同)
4.若定义在R上的函数关于点(a,c)和(b,c)(b>a)都成中心对称,则f(x)为周期函数,2b-2a是它的一个周期.
5.若定义在R上的函数f(x)的图象关于点(a,c)成中心对称,有关于直线x=b(b>a)成轴对称,则f(x)是周期函数,4b-4a是它的一个周期.
这是我在一本参考书看到的,但弄不懂它们是如何来的.前2个还似懂非懂的,但后面3个就一头雾水了~.懂得的帮我做一个证明,
我是高三学生,所以证明不要超出高中数学的要求最好!
还有一个问题:若f(x)关于(a,c)对称,则有什么推论?,

Answer 1

1,很简单:当f(L-x)=f(x+L),那f(x)关于x=L对称
设x+a=k===>x=k-a
f(x+a)=f(b-x)===>f(k)=f(b+a-k)
则f((a+b)/2-x)=f(b+a-((a+b)/2-x))=f((a+b)/2+x)
所以y=f(x)关于x=(a+b)/2对称
2,函数y=f(a+(b-a)/2-x)=f((a+b)/2-x)
函数y=f(b-((b-a)/2+x))=f((a+b)/2-x)
所以他们的图象关于直线x=(b-a)/2对称
3,因为f(x-a)=f(a+x);f(x-b)=f(x+b)
令t=b-2a+x
则f(2b-2a+x)=f(b+t)=f(t-b)=f(x-2a)
令k=x-a
则f(x-2a)=f(k-a)=f(a+k)=f(x)
则有f(2b-2a+x)=f(x),所以2b-2a为f(x)的周期