设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B和秩为r的r*n阶矩阵C,使AB=C

Question

设A是一次m*n矩阵,证明:R(A)=r的充分必要条件是存在秩为r的m*r矩阵B和秩为r的r*n阶矩阵C,使AB=C

Answer 1

必要性：
R(A)=r等价于存在可逆阵P,Q使得A=PDQ,其中
D=
I_r 0
0 0
由此可以构造出A=BC (注意,不是AB=C)
充分性：
考虑B和C里面的满秩rxr子阵即可