已知n阶矩阵A=（aij），且nj＝1aij=0（i=1，2，…，n），求证：（1）A的伴随矩阵A*的秩r（A*）≤1；（2）A*＝k1…kj…knk1…kj…kn⋮⋮k1…kj…kn（其中kj常数，j=1，2，…，n）．

Question

已知n阶矩阵A=（a_ij），且

n

j＝1

aij=0（i=1，2，…，n），求证：
（1）A的伴随矩阵A^*的秩r（A^*）≤1；
（2）A*＝

k1…kj…kn

k1…kj…kn

⋮⋮

k1…kj…kn

（其中k_j常数，j=1，2，…，n）．

Answer 1

（1）因为nj＝1aij=0（i=1，2，…，n），故将A中的第2到n列加到第1列上，则第1列中元素均为0，从而其行列式的值为0．因此，|A|=0．如果r（A）＜n-1，则A中所有的n-1阶代数余子式的值均为0，故由伴随矩阵的定义可得，...