设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-根号3a，0），C（根号3a，0）其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆。（1）求圆M需要详细过程。

Question

设△ABC顶点坐标A（0，a），B（-根号3a，0），C（根号3a，0）其中a＞0，圆M为△ABC的外接圆。（1）求圆M需要详细过程。

Answer 1

(1)△ABC是等腰三角形，对称轴为x=0。外接圆的圆心肯定在x=0上。作AC的中垂线，垂足为D，交y轴于M。M即为外接圆的圆心。因为A(0,a)，C(√3a,0)，故∠MAC=60°,AD=AC/2=√[a^2+(√3a)^2]/2=a。△AMD又是一个∠MAD=60°的直角三角形。故AM=2a。所以，点M的坐标为(0,-a)。圆的半径r=MA=MB=MC=2a。 故，圆M的方程为：x^2+(y+a)^2=4a^2(a＞0)。 (2)假设圆M过某一定点(x,y)。那么当a变化时，圆M仍然过点(x,y)，此点不会随着a的变化而变化。那么，现在令a变成了b，即a≠b。 有，x^2+(y+b)^2=4b^2 两式相减得：(y+a)^2-(y+b)^2=4a^2-4b^2。化简得：(2y+a+b)(a-b)=4(a+b)(a-b)。 因为a≠b，即a-b≠0，所以，2y+a+b=4(a+b)。得：y=3(a+b)/2。 得出，y是一个根据a和b取值而变化的量。与我们之前假设的y是一个不随a变化而变化的定量矛盾！！ 所以，圆M不过定点。