已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点（2，3）．（1）求该双曲线的标准方程（2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．

Question

已知双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点（2，3）．
（1）求该双曲线的标准方程
（2）若直线m经过该双曲线的右焦点且斜率为1，求直线m被双曲线截得的弦长．

Answer 1

∵双曲线焦距为4，焦点在x轴上，且过点（2，3 ）．
∴2c=4，c=2，2a=√((2+2)2+32)-√((2-2)2+32)=2，∴a=1，
∵c²=a²+b²
∴b²=3
∴双曲线C的标准方程为：x2-(y2)/(3)=1；
（2）直线方程为y=x-2代入x2-(y2)/(3)=1，整理可得2x²+4x-7=0，x₁+x₂=-2，x₁x₂=-(7)/(2)．
∴直线l被双曲线C截得的弦长为√(1+k2)|x2-x1|=√(2)√((x2+x1)2-4x1x2)=√(2)•√(4+4×(7)/(2))=6．