（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=12∠BAD．求证：EF=BE+FD．（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EA

Question

（1）如图1，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=(1)/(2)∠BAD．求证：EF=BE+FD．
（2）如图2，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，E、F分别是边BC、CD上的点，且∠EAF=(1)/(2)∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．
（3）如图3，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分别是边BC、CD延长线上的点，且∠EAF=(1)/(2)∠BAD，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出线段EF、BE、FD它们之间的数量关系，并证明．

Answer 1

证明：（1）如图1，延长EB到G，使BG=DF，连接AG．
∵在△ABG与△ADF中，

AB=AD

∠ABG=∠ADF=90°

BG=DF

，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴AG=AF，∠1=∠2．
∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠EAF=(1)/(2)∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
又AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF．
∵EG=BE+BG．
∴EF=BE+FD

（2）（1）中的结论EF=BE+FD仍然成立．
证明：如图2，延长CB至M，使BM=DF，
∵∠ABC+∠D=180°，∠1+∠ABC=180°，
∴∠1=∠D，
在△ABM与△ADF中，

AB=AD

∠1=∠D

BM=DF

，
∴△ABM≌△ADF（SAS）．
∴AF=AM，∠2=∠3．
∵∠EAF=(1)/(2)∠BAD，
∴∠2+∠4=(1)/(2)∠BAD=∠EAF．
∴∠3+∠4=∠EAF，即∠MAE=∠EAF．
在△AME与△AFE中，

AM=AF

∠MAE=∠EAF

AE=AE

，
∴△AME≌△AFE（SAS）．
∴EF=ME，即EF=BE+BM．
∴EF=BE+DF．

（3）结论EF=BE+FD不成立，应当是EF=BE-FD．
证明：在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
∵∠B+∠ADC=180°，∠ADF+∠ADC=180°，
∴∠B=∠ADF．
∵在△ABG与△ADF中，

AB=AD

∠ABG=∠ADF

BG=DF

，
∴△ABG≌△ADF（SAS）．
∴∠BAG=∠DAF，AG=AF．
∴∠BAG+∠EAD=∠DAF+∠EAD=∠EAF=(1)/(2)∠BAD．
∴∠GAE=∠EAF．
∵AE=AE，
易证△AEG≌△AEF．
∴EG=EF
∵EG=BE-BG
∴EF=BE-FD．