（2014•江苏模拟）如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA

Question

（2014•江苏模拟）如图，现有一个以∠AOB为圆心角、湖岸OA与OB为半径的扇形湖面AOB．现欲在弧AB上取不同于A，B的点C，用渔网沿着弧AC（弧AC在扇形AOB的弧AB上）、半径OC和线段CD（其中CD∥OA），在该扇形湖面内隔出两个养殖区域--养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ．若OA=1cm，∠AOB＝(π)/(3)，∠AOC=θ．
（1）用θ表示CD的长度；
（2）求所需渔网长度（即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和）的取值范围．

Answer 1

（1）由CD∥OA，∠AOB=(π)/(3)，∠AOC=θ，得∠OCD=θ，∠ODC=(2π)/(3)，∠COD=(π)/(3)-θ．
在△OCD中，由正弦定理，得CD=(2)/(√(3))sin（(π)/(3)−θ），θ∈（0，(π)/(3)）（6分）
（2）设渔网的长度为f（θ）．
由（1）可知，f（θ）=θ+1+(2)/(√(3))sin（(π)/(3)−θ）．（8分）
所以f′（θ）=1-(2)/(√(3))cos（(π)/(3)−θ），因为θ∈（0，(π)/(3)），所以(π)/(3)-θ∈（0，(π)/(3)），
令f′（θ）=0，得cos（(π)/(3)−θ）=(√(3))/(2)，所以(π)/(3)-θ=

作业帮用户 2016-11-17 举报

问题解析

（1）先确定∠COD，再在△OCD中，利用正弦定理，可求CD的长度；
（2）根据所需渔网长度，即图中弧AC、半径OC和线段CD长度之和，确定函数的解析式，利用导数确定函数的最值，即可求得所需渔网长度的取值范围．

名师点评

本题考点：

正弦定理的应用；根据实际问题选择函数类型．

考点点评：

本题考查正弦定理的运用，考查函数模型的构建，考查利用导数确定函数的最值，确定函数的解析式是关键．

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