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某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题,每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题

题目详情
某高校的自主招生考试数学试卷共有8道选择题,每个选择题都给了4个选项(其中有且仅有一个是正确的).评分标准规定:每题只选1项,答对得5分,不答或答错得0分.某考生每道题都给出了答案,已确定有4道题的答案是正确的,而其余的题中,有两道题每题都可判断其中两个选项是错误的,有一道题可以判断其中一个选项是错误的,还有一道题因不理解题意只能乱猜.对于这8道选择题,试求:
(1)该考生得分为40分的概率;
(2)该考生所得分数ξ的分布列及数学期望Eξ.
▼优质解答
答案和解析
(1)要得40分,8道选择题必须全做对,在其余四道题中,有两道题答对的概率为
1
2
,有一道题答对的概率为
1
3
,还有一道题答对的概率为
1
4
,所以,得40分的概率为  P=
1
2
×
1
2
×
1
3
×
1
4
=
1
48

(2)依题意,该考生得分ξ的取值是20,25,30,35,40,得分为20表示只做对了四道题,其余各题都做错,
故所求概率为 P(ξ=20)=
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
=
1
8

同样可求得得分为25分的概率为 P(ξ=25)=
C 12
×
1
2
×
1
2
×
2
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
1
3
×
3
4
+
1
2
×
1
2
×
2
3
×
1
4
=
17
48

得分为30分的概率为 P(ξ=30)=
17
48

得分为35分的概率为 P(ξ=35)=
7
48

得分为40分的概率为 P(ξ=40)=
1
48

于是ξ的分布列为:
ξ 20 25 30 35 40
P
6
48
17
48
17
48
7
48
1
48
Eξ=20×
6
48
+25×
17
48
+30×
17
48
+35×
7
48
+40×
1
48
=
335
12

该考生所得分数的数学期望为
335
12
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