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如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F,(1)求作点F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)(2)求证:CA=CF.
题目详情
如图,矩形ABCD中,CE⊥BD于点E,AF平分∠BAD交EC的延长线于点F,
(1)求作点F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)
(2)求证:CA=CF.
(1)求作点F;(要求用尺规作图,保留作图痕迹,不写作法与证明)
(2)求证:CA=CF.
▼优质解答
答案和解析
(1)作图如图所示:
(2)证明:延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE.
在Rt△BCD中,∵CE⊥BD,
∴∠DCE=∠DBC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△DCB≌△CDA,
∴∠DBC=∠CAD,
∴∠FCH=∠CAD,①
又∵AG平分∠BAD=90°,
∴△ABG是等腰直角三角形,
从而易证△HCG也是等腰直角三角形,
∴∠CHG=45°.
∵∠CHG是△CHF的外角,
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,
∴∠CFH=45°-∠FCH.②
由①,②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,
∴CA=CF.
(2)证明:延长DC交AF于H,显然∠FCH=∠DCE.
在Rt△BCD中,∵CE⊥BD,
∴∠DCE=∠DBC.
∵四边形ABCD是矩形,
∴△DCB≌△CDA,
∴∠DBC=∠CAD,
∴∠FCH=∠CAD,①
又∵AG平分∠BAD=90°,
∴△ABG是等腰直角三角形,
从而易证△HCG也是等腰直角三角形,
∴∠CHG=45°.
∵∠CHG是△CHF的外角,
∴∠CHG=∠CFH+∠FCH=45°,
∴∠CFH=45°-∠FCH.②
由①,②可知∠CFH=45°-∠CAD=∠CAF,
∴CA=CF.
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