25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必

Question

25人排成5×5方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,不同的选法有多少种?
将这个问题退化成9人排成3×3方阵,现从中选3人,要求3人不在同一行也不在同一列,有多少选法.这样每行必有1人从其中的一行中选取后,把这人所在的行列都划掉,如此继续下去.从3×3方队中选3人的方法有C(3,1)C(2,1)C(1,1)种.再从5×5方阵选出3×3方阵便可解决问题.即总取法为C(5,3)C(5,3)C(3,1)C(2,1)C(1,1)种.但是我有个疑问,以上的思路是建立在3×3方阵为规则正方形的基础上的,但是从5×5方阵中取3×3方阵并没有限制这个方阵为规则的正发形,也就是说C(5,3)C(5,3)可能会产生如下的形态取法可以看到,A在它所在的行的下一个行中有三种取法,B在在它所在的行的下一个行中有三种取法,而C却只有2种.同时每一种取法在最后一行中的范围又是不一样.请问各位前辈该如何解释我的这个疑问?总不能是书上给的解错了?PS:我看有些高人们用高等代数中的矩阵来进行类似这种“取法”问题的求解,不知是否是真的?

Answer 1

关于C（5,3）C(5,3),应这样理解理5个行标中任意取3个（如例子中的1,3,5）,5个列标中也任意取3个,这样9个元素只能位于3个列中,例子中的列标是不正确的取法,因为5个列中的元素都取了.比如列可取1,2,3（当然也可以是1,2,4等）,那必定是规范的方阵.
你的例子不符合要求：虽是3行,却有5列