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(2012•武昌区模拟)为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份种植红、黄、蓝三色不同的
题目详情
(2012•武昌区模拟)为美化环境,某地决定在一个大型广场建一个同心圆形花坛,花坛分为两部分,中间小圆部分种植草坪,周围的圆环分为n(n≥3,n∈N)等份种植红、黄、蓝三色不同的花.要求相邻两部分种植不同颜色的花.如图①,圆环分成的3等份分别为a1,a2,a3,有6种不同的种植方法.
(1)如图②,圆环分成的4等份分别为 a1,a2,a3,a4,有______种不同的种植方法;
(2)如图③,圆环分成的n(n≥3,n∈N)等份分别为a1,a2,a3,…,an,有______种不同的种植方法.
(1)如图②,圆环分成的4等份分别为 a1,a2,a3,a4,有______种不同的种植方法;
(2)如图③,圆环分成的n(n≥3,n∈N)等份分别为a1,a2,a3,…,an,有______种不同的种植方法.
▼优质解答
答案和解析
(1)如图①,先对a1部分种植,有3种不同的种法,再对a2、a3种植,
∵a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同.
∴S(3)=3×2=6(种),
如图②,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种).
故答案为:18.
(2)如图3,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、an都有两种不同的种法,
但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为S(n)(n≥3)种.
另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,
这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为S(n-1).
共有3×2n-1种种法.
这样就有S(n)+S(n-1)=3×2n-1.
即S(n)-2n=-[S(n-1)-2n-1],则数列{S(n)-2n}(n≥3)是首项为S(3)-23公比为-1的等比数列.
则S(n)-2n=[S(3)-23](-1)n-3(n≥3).
由(1)知:S(3)=6
∴S(n)=2n+(6-8)(-1)n-3.
∴S(n)=2n-2•(-1)n-3 ,
故答案为 2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N).
∵a2、a3与a1不同颜色,a2、a3也不同.
∴S(3)=3×2=6(种),
如图②,S(4)=3×2×2×2-S(3)=18(种).
故答案为:18.
(2)如图3,圆环分为n等份,对a1有3种不同的种法,对a2、a3、an都有两种不同的种法,
但这样的种法只能保证a1与ai(i=2、3、n-1)不同颜色,但不能保证a1与an不同颜色.
于是一类是an与a1不同色的种法,这是符合要求的种法,记为S(n)(n≥3)种.
另一类是an与a1同色的种法,这时可以把an与a1看成一部分,
这样的种法相当于对n-1部分符合要求的种法,记为S(n-1).
共有3×2n-1种种法.
这样就有S(n)+S(n-1)=3×2n-1.
即S(n)-2n=-[S(n-1)-2n-1],则数列{S(n)-2n}(n≥3)是首项为S(3)-23公比为-1的等比数列.
则S(n)-2n=[S(3)-23](-1)n-3(n≥3).
由(1)知:S(3)=6
∴S(n)=2n+(6-8)(-1)n-3.
∴S(n)=2n-2•(-1)n-3 ,
故答案为 2n-2•(-1)n-3(n≥3且n∈N).
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