如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．（1）求证：△ADP∽△ABQ；（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM2=y

Question

如图，在矩形ABCD中，点P在边CD上，且与C、D不重合，过点A作AP的垂线与CB的延长线相交于点Q，连接PQ，M为PQ中点．

（1）求证：△ADP∽△ABQ；
（2）若AD=10，AB=20，点P在边CD上运动，设DP=x，BM²=y，求y与x的函数关系式，并求线段BM的最小值．

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠D=∠ABC=90°，∠DAB=90°，
∴∠ABQ=90°=∠D，
∵AQ⊥AP，
∴∠QAP=∠DAB=90°，
∴∠DAP=∠QAB=90°-∠BAP，
即∠QAB=∠DAP，∠ABQ=∠D，
∴△ADP∽△ABQ；

（2） 作MN⊥QC，则∠QNM=∠QCD=90°，
又∵∠MQN=∠PQC
∴△MQN∽△PQC，
∴(MN)/(PC)=(QM)/(QP)，
∵∠C=∠MNQ=90°，
∴MN∥PC，
∵M为PQ的中点，
∴N为CQ的中点，
∴(MN)/(PC)=(QM)/(QP)=(QN)/(QC)=(1)/(2)，
又∵PC=DC-DP=20-x
∴MN=(1)/(2)PC=(1)/(2)（20-x），QN=(1)/(2)QC=(1)/(2)（QB+10），
∵△ADP∽△ABQ
∴(AD)/(AB)=(DP)/(BQ)，
∴(10)/(20)=(x)/(BQ)，
∴BQ=2x，
∵QN=(1)/(2)QC=(1)/(2)（QB+10）=(1)/(2)（2x+10）=x+5，
∴BN=QB-QN=2x-（x+5）=x-5，
在Rt△MBN中，由勾股定理得：BM²=MN²+BN²=[(1)/(2)（20-x）]²+（x-5）²，
即：y=(5)/(4)x²-20x+125，（0≤x≤20），
当x=4，即DP=4时，线段BM长的最小值=√(45)=3√(5)．