线性代数问题若A可逆,证明AB~BA.证法：AB~A^1ABA=BA第一步怎么来的?难道A相似于本身的那个A~P^1AP中,P是任意的吗?这个好像不是吧.那个不是任意的,那A带进去就不一定成立了.我说的是AB～P^-1ABP.

Question

线性代数问题
若A可逆,证明AB~BA.证法：AB~A^1ABA=BA 第一步怎么来的?难道A相似于本身的那个A~P^1AP中,P是任意的吗?这个好像不是吧.
那个不是任意的,那A带进去就不一定成立了.我说的是AB～P^-1ABP.这个P不是任意的,为什么用A

Answer 1

根据定义A~P^-1AP就是存在可逆矩阵M使
A=M^-1(P^-1AP)M
那么令M=p^-1即可
∴对题中,存在可逆矩阵A使
AB=A(A^-1ABA)A^-1
∴AB∽A^-1ABA
补充问题：只要A可逆就就有AB～A^-1ABA
∵可以找到一可逆矩阵P使：AB=P^-1(A^-1ABA)P
只要让P=A^-1就可以了
其实对于一个矩阵B来说,一定有B∽P^-1BP
无论P是B本身还是其他矩阵,只要P可逆就行