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(2012•丰台区二模)在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F.(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论
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(2012•丰台区二模)在△ABC中,D为BC边的中点,在三角形内部取一点P,使得∠ABP=∠ACP.过点P作PE⊥AC于点E,PF⊥AB于点F.
(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论;
(2)如图2,当AB≠AC,其它条件不变时,(1)中的结论是否发生改变?请说明理由.
(1)如图1,当AB=AC时,判断的DE与DF的数量关系,直接写出你的结论;
(2)如图2,当AB≠AC,其它条件不变时,(1)中的结论是否发生改变?请说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)DE=DF.…(1分)
(2)DE=DF不发生改变.…(2分)
理由如下:分别取BP、CP的中点M、N,连接EM、DM、FN、DN.
∵D为BC的中点,
∴DN=
BP,DN∥BP.…(3分)
∵PE⊥AB,
∴EM=BM=
BP.
∴DN=EM,∠1=∠2.
∴∠3=∠1+∠2=2∠1.…(4分)
同理DM=FN,∠5=2∠4,MD∥PC.
∴四边形MDNP为平行四边形.…(5分)
∴∠6=∠7.
∵∠1=∠4,
∴∠3=∠5.
∴∠EMD=∠DNF.…(6分)
在△EMD和△DNF中,
∵
,
∴△EMD≌△DNF(SAS).
∴DE=DF.…(7分)
(2)DE=DF不发生改变.…(2分)
理由如下:分别取BP、CP的中点M、N,连接EM、DM、FN、DN.
∵D为BC的中点,
∴DN=
1 |
2 |
∵PE⊥AB,
∴EM=BM=
1 |
2 |
∴DN=EM,∠1=∠2.
∴∠3=∠1+∠2=2∠1.…(4分)
同理DM=FN,∠5=2∠4,MD∥PC.
∴四边形MDNP为平行四边形.…(5分)
∴∠6=∠7.
∵∠1=∠4,
∴∠3=∠5.
∴∠EMD=∠DNF.…(6分)
在△EMD和△DNF中,
∵
|
∴△EMD≌△DNF(SAS).
∴DE=DF.…(7分)
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