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如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AC,且∠CBD=30°,连接BD(1)求证:AB=AD;(2)设AD交BC于点P,若△ABP是等腰三角形,求∠ABC的度数.
题目详情
如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AC,且∠CBD=30°,连接BD
(1)求证:AB=AD;
(2)设AD交BC于点P,若△ABP是等腰三角形,求∠ABC的度数.
(1)求证:AB=AD;
(2)设AD交BC于点P,若△ABP是等腰三角形,求∠ABC的度数.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:作△BDC的外接圆,延长DE交圆于点F,连接CF、AF,如图所示,
则有∠DBC=∠DFC=30°.
∵DE垂直平分AC,
∴AF=FC,
∴∠AFE=∠CFE=30°,
∴∠AFC=60°,
∴△AFC是等边三角形,
∴AF=AC.
∵AB=AC,
∴AF=AC=AB,
∴点A为所作圆的圆心,
∴AB=AD.
(2)①若PA=PB,
则∠ABC=∠BAP.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠DAC=2∠DBC=60°,
∴∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB,
∴∠APB=60°+∠ABC.
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°,
∴3∠ABC+60°=180°,
解得:∠ABC=40°
②若BA=BP,
同理可得:∠ABC=20°.
③AB=AP,
此时P与C重合,
则D与E重合,
不符合题意,故舍去.
综上所述:当△ABP是等腰三角形时,∠ABC的度数为40°或20°.
则有∠DBC=∠DFC=30°.
∵DE垂直平分AC,
∴AF=FC,
∴∠AFE=∠CFE=30°,
∴∠AFC=60°,
∴△AFC是等边三角形,
∴AF=AC.
∵AB=AC,
∴AF=AC=AB,
∴点A为所作圆的圆心,
∴AB=AD.
(2)①若PA=PB,
则∠ABC=∠BAP.
∵AB=AC,
∴∠ABC=∠ACB.
∵∠DAC=2∠DBC=60°,
∴∠APB=∠PAC+∠ACB=60°+∠ACB,
∴∠APB=60°+∠ABC.
∵∠ABC+∠BAP+∠APB=180°,
∴3∠ABC+60°=180°,
解得:∠ABC=40°
②若BA=BP,
同理可得:∠ABC=20°.
③AB=AP,
此时P与C重合,
则D与E重合,
不符合题意,故舍去.
综上所述:当△ABP是等腰三角形时,∠ABC的度数为40°或20°.
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