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三角形ABC中,G是AC的中点,D.E.F是BC边上的四等分点,AD与BG交与M,AF与BG交与N,已知ABM的面积比四边形FCGN的面积大7.2平方厘米,三角形ABC的面积是多少厘米?

题目详情
三角形ABC中,G是AC的中点,D.E.F是BC边上的四等分点,AD与BG交与M,AF与BG交与N,已知ABM的面积比四边形
FCGN的面积大7.2平方厘米,三角形ABC的面积是多少厘米?
▼优质解答
答案和解析
过F作FH∥BG交AC于H.
显然有:CF=(1/4)CB,∴S(△AFC)=(1/4)S(△ABC).
又FH∥BG,∴△CFH∽△CBG,∴S(△CFH)/S(△CBG)=(CF/CB)^2=(1/4)^2=1/16,
而AG=CG,∴S(△CBG)=(1/2)S(△ABC),∴S(△CFH)=(1/32)S(△ABC).
∵△CFH∽△CBG,∴CH/CG=CF/CB=1/4,∴CH=(1/4)CG=(1/8)AC,
∴AH=AC-CH=AC-(1/8)AC=(7/8)AC,
∴AG/AH=(1/2)AC/[(7/8)AC]=1/(7/4)=4/7.
∵NG∥FH,∴△ANG∽△AFH,∴S(△ANG)/S(△AFH)=(AG/AH)^2=(4/7)^2=16/49,
∴S(△ANG)
=(16/49)S(△AFH)=(16/49)[S(△AFC)-S(△CFH)]
=(16/49)[(1/4)S(△ABC)-(1/32)S(△ABC)]=(16/49)×(7/32)S(△ABC)
=(1/14)S(△ABC).
∴S(四边形FCGN)
=S(△AFC)-S(△ANG)=(1/4)S(△ABC)-(1/14)S(△ABC)=(3/7)S(△ABC).
过D作DJ∥CA交BG于J.
显然有:BD=(1/4)BC,∴S(△ABD)=(1/4)S(△ABC).
∵DJ∥CG,∴△BDJ∽△BCG,∴S(△BDJ)/S(△BCG)=(BD/BC)^2=(1/4)^2=1/16,
∵AG=CG,∴S(△BCG)=(1/2)S(△ABC),∴S(△BDJ)=(1/32)S(△ABC).
∵△BDJ∽△BCG,∴DJ/CG=BD/BC=1/4,∴DJ=(1/4)CG=(1/4)AG.
∵DJ∥GA,∴△MDJ∽△MAC,∴S(△MDJ)/S(△MAC)=(DJ/AG)^2=1/16,
∴S(△MDJ)=(1/16)S(△MAG),
∴S(△BDM)=S(△BDJ)+S(△MDJ)=(1/32)S(△ABC)+(1/16)S(△MAG),
∴S(△ABM)
=S(△ABD)-S(△BDM)=(1/4)S(△ABC)-[(1/32)S(△ABC)+(1/16)S(△MAG)]
=(7/32)S(△ABC)-(1/16)S(△MAG).
又S(△ABM)=S(△ABG)-S(△MAG)=(1/2)S(△ABC)-S(△MAG),
∴(7/32)S(△ABC)-(1/16)S(△MAG)=(1/2)S(△ABC)-S(△MAG),
∴S(△MAG)-(1/16)S(△MAG)=(1/2)S(△ABC)-(7/32)S(△ABC),
∴(15/16)S(△MAG)=(9/32)S(△ABC),
∴S(△MAG)=(3/10)S(△ABC),
∴S(△ABM)=S(△ABG)-S(△MAG)=S(△ABG)-(3/10)S(△ABC)=(7/10)S(△ABC).
依题意,有:S(△ABM)-S(四边形FCGN)=7.2,
∴(7/10)S(△ABC)-(3/7)S(△ABC)=7.2,∴[(49-30)/70]S(△ABC)=7.2,
∴(19/70)S(△ABC)=7.2,∴S(△ABC)=(72/19)(平方厘米).