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如图:点D在线段AB的延长线上,把AB绕点A逆时针旋转90°得到AC,连接CD,点E在CD上,BF∥CD交直线AE于点F,∠AEC=60°,AF=23,CE=5,则AE的长为.

题目详情
如图:点D在线段AB的延长线上,把AB绕点A逆时针旋转90°得到AC,连接CD,点E在CD上,BF∥CD交直线AE于点F,∠AEC=60°,AF=2
3
,CE=5,则AE的长为______.
▼优质解答
答案和解析
过点C作CN⊥DC交EA的延长线于点N,过点A作AM⊥EN于点A,交CN于点M,
∴∠DCN=∠MAN=∠EAM=90°.
∴∠CAM+∠CAE=90°,∠ACN+∠ACE=90°
∵AB绕点A逆时针旋转90°得到AC,
∴∠DAC=90°,
∴∠DAE+∠EAC=90°,∠D+∠ACE=90°,
∴∠ACN=∠D.
∵∠AEC=60°,
∴∠AED=120°.
∵BF∥CD,
∴∠ABF=∠D,∠AFB=∠AED.
∴∠ACN=∠ABF.∠AFB=120°.
在△ACM和△ABF中
∠ACN=∠ABF
AC=AB
∠CAM=∠DAE

∴△ACM≌△ABF(ASA),
∴∠AMC=∠AFB,AM=AF.
∴∠AMC=120°,
∴∠AMN=60°,
∴∠N=30°,
∴EN=2EC,MN=2AM
∵AF=2
3
,CE=5
∴AM=2
3
,MN=4
3
,EN=10,
在Rt△AMN中,由勾股定理,得
AN=6.
∵AE=EN-AN,
∴AE=10-6=4.
故答案为4.