已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．（1）发现与证明：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：当E点旋转到CB的延长线上时（如图2

Question

已知正方形ABCD和正方形AEFG有公共顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转．

（1）发现与证明：当E点旋转到DA的延长线上时（如图1），△ABE与△ADG的面积关系是：___
当E点旋转到CB的延长线上时（如图2），△ABE与△ADG的面积关系是：___
（2）引申与运用：当正方形AEFG旋转任意一个角度时（如图3），△ABE与△ADG的面积关系是___
并证明．
运用：已知△ABC，AB=5cm，BC=3cm，分别以AB、BC、CA为边向外作正方形（如图4），则图中阴影部分的面积和的最大值是___cm²．

Answer 1

（1）①∵正方形ABCD和正方形AEFG有公顶点A，将正方形AEFG绕点A旋转，E点旋转到DA的延长线上，
∴AE=AG，AB=AD，∠EAB=∠GAD，
∴△ABE≌△ADG（SAS），
∴△ABE的面积=△ADG的面积；
②作GH⊥DA交DA的延长线于H，如图2，
∴∠AHG=90°，
∵E点旋转到CB的延长线上，
∴∠ABE=90°，∠HAB=90°，
∴∠GAH=∠EAB，
在△AHG和△AEB中

∠AHG=∠ABE

∠GAH=∠EAB

AG=AE

，
∴△AHG≌△AEB，
∴GH=BE，
∵△ABE的面积=(1)/(2)EB•AB，△ADG的面积=(1)/(2)GH•AD，
∴△ABE的面积=△ADG的面积；

（2）结论仍然成立．理由如下：
作GH⊥DA交DA的延长线于H，EP⊥BA交BA的延长线于P，如图3，
∵∠PAD=90°，∠EAG=90°，
∴∠PAE=∠GAH，
在△AHG和△AEP中

∠GAH=∠EAP

∠GHA=∠EPA

AG=AE

，
∴△AHG≌△AEP（AAS），
∴GH=BP，
∵△ABP的面积=(1)/(2)EP•AB，△ADG的面积=(1)/(2)GH•AD，
∴△ABP的面积=△ADG的面积；
运用：∵AB=5cm，BC=3cm，
∴AC=√(AB2-BC2)=4cm，
∴△ABC的面积=(1)/(2)×3×4=6（cm²）；
根据（2）中的结论得到阴影部分的面积和的最大值=△ABC的面积的3倍=18cm²．
故答案为相等；相等；相等；18．